Nacida en Sagua la Grande, en la costa norte de la actual provincia de Villa Clara, a los 12 años de edad, ya en La Habana, debutó en un programa infantil de la emisora Mil Diez, del Partido Socialista Popular.

Paralelamente a sus estudios de magisterio en la Escuela Normal continuó presentándose en varias radioemisoras. Su decidida vocación por la actuación la llevó a integrar en 1958 el grupo Prometeo, uno de los reductos del teatro de arte de la época.

El triunfo revolucionario de 1959 permitió a Asenneh desarrollar sus potencialidades. En los años sesenta fue una presencia clave en el movimiento teatral cubano y comenzó a incursionar en el cine y a sistematizar su labor en la pequeña pantalla.

En el teatro marcó un hito cuando se convirtió en la revelación de la puesta en escena de Romeo y Julieta, dirigida por el checo Otomar Krejcha. Integró los elencos del Teatro Musical de La Habana, el Conjunto Dramático nacional y luego el grupo Buscón.

Merecedora del Premio Nacional de TV por la obra de la vida, en ese medio Asseneh desarrolló una intensa labor en telenovelas, teleteatros y programas de variedades.

Huella perdurable suya podrá hallarse en el cine, con memorables intervenciones en los filmes Un día en el solar, Patakín, María Antonia, Retrato de Teresa, Guantanamera y Las profecías de Amanda.

También será recordada por la pasión con que difundió, junto a su entrañable colega Alden Knight, la obra poética de Nicolás Guillén.

Fue una actriz que se nutrió de lo popular, lo vernáculo, el día a día de los cubanos, de cuya sensibilidad, gracia y hasta problemas supo nutrirse para hacer fieles retratos de su cotidianeidad.
Asseneh Rodríguez fue sin dudas una persona muy carismática, que en cada poro de su piel sentía el orgullo de ser cubana y actriz.

Fue condecorada con la orden Por la Cultura Nacional